二次函数图像与性质分析

概述

二次函数是最基本的一种多项式函数，其形式为 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，其中 $a 、 b 和 c$ 为常数。二次函数的图像具有特定的形状和属性，包括顶点、对称轴等。

函数的图像

簇积

二次函数的图像是一条以其顶点为中心的弧线，由于该弧线是平滑的，并且其中间部分具有最大或最小值，因此具有弓形特征。对于 $a > 0$ ，顶点位于 $(h, k) = (- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))$ 处，而对于 $a < 0$ ，则为 $h = - \frac{b}{2 a}$ 。

画图示例

二次函数图形

性质分析

处值公式

顶点的 y 坐标可以使用以下公式计算：

k = f (- \frac{b}{2 a}) = a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c = a \cdot \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{2 a} + c = \frac{- b^{2}}{4 a} + \frac{c}{1}

对称轴

对于 $a > 0$ ，对称轴的方程为：

x = h = - \frac{b}{2 a}

对于 $a < 0$ ，则为：

y = k = \frac{- b^{2}}{4 a} + \frac{c}{1}

应用分析

对称轴

对称轴是二次函数图形上方的水平线。对于 $a > 0$ ，该线的 y 坐标等于顶点的 x 坐标，而对于 $a < 0$ ，则为垂直线。

底部/最大值

对于 $a > 0$ ，最小值位于左侧，最大值位于右侧。对于 $a < 0$ ，则是相反的情况。

底部/最小值

对于 $a > 0$ ，最小值位于右侧，最大值位于左侧。对于 $a < 0$ ，则是相反的情况。

截距

在 x 轴上截距的点坐标为 $(- c / a, 0)$ ，在 y 轴上截距的点坐标为 $(0,c)。

截距公式

y = f (x) = a x^{2} + b x + c = x \cdot a x + b \cdot x + c

对于 $x$ 坐标的截距：

- c / a = x \cdot a + b \cdot 0 + c

- c / a = a (- c) + b \cdot 0 + c

对于 $y$ 坐标的截距：

0 = f (x) = a \cdot x^{2} + b x + a \cdot 0 + c

截距公式（简化）

对于 y 坐标的截距：

x = - c / a

对于 x 坐标的截距：

y = c

二次函数图像与性质分析 ​

概述 ​

函数的图像 ​

簇积 ​

画图示例 ​

性质分析 ​

处值公式 ​

对称轴 ​

应用分析 ​

对称轴 ​

底部/最大值 ​

底部/最小值 ​

截距 ​

截距公式 ​

截距公式（简化） ​