函数的定义与性质之函数的图像变换：平移、伸缩与对称

平移

平移是一种函数图像上的变换，它涉及在 x 轴或 y 轴上移动所有点。平移后的函数表示为 $f(x+c)$，其中 $c$ 是平移量（也称为向量）。

给定函数 $f(x)$，如果我们应用平移 $c$ 在 x 轴上，则图像变换可以写成：

$$f(x+c)=f(x-(-c))$$

平移的性质是它是线性的。

伸缩

伸缩是一种函数图像上的变换，它涉及在 x 轴或 y 轴上缩小所有点。伸缩后的函数表示为 $cf(x)$，其中 $c$ 是缩放因子（也称为正标量）。

给定函数 $f(x)$，如果我们应用缩放 $c$ 在 x 轴上，则图像变换可以写成：

$$cf(x)=c\cdot f\left(\frac{x}{c}\right)$$

伸缩的性质是它在 x 轴或 y 轴上缩小或扩大函数图像。

对称

对称是一种函数图像上的变换，它涉及旋转、反射或两者都包含。我们可以分为以下几种类型：

1. 对称轴

对称轴是通过原点与函数图像的中线垂直的线段。

2. 反射

反射是一种变换，它沿一条平面进行，例如 x 轴或 y 轴。反射后的函数表示为 $f(-x)$ 或 $f(x+\pi )$，其中 $\pi$ 是π值（即斜角）。

给定函数 $f(x)$，如果我们应用反射在 x 轴上，则图像变换可以写成：

$$f(-x)=f(-(x))=f(-x)$$

3. 旋转

旋转是一种变换，它沿一条线进行，例如 x 轴或 y 轴。旋转后的函数表示为 $f(x\cos (\theta )+y\sin (\theta ))$，其中 $\theta$ 是旋转角度。

给定函数 $f(x)$，如果我们应用旋转 $\theta$ 在 x 轴上，则图像变换可以写成：

$$f(x\cos (\theta )+y\sin (\theta ))=f(\frac{x}{\cos (\theta )}+\frac{y}{\sin (\theta )})$$

结论

函数的定义和性质之函数的图像变换包括平移、伸缩和对称。这些变换可以用数学公式来表示，具有很大的灵活性，可以用于各种图像处理应用中。