韦达定理

简介

韦达定理是一种在代数中非常重要的理论，它描述了多项式的根与系数之间的关系。该定理由哥特弗雷·威廉·韦达于18世纪开发，名为“关于多项式的根和系数的几何分析”。

多项式根与系数的关系

对于一个多项式 $a{x}^2+bx+c=0$，如果它有两个不同的实根，则韦达定理表明：

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$$$x_1\times x_2=\frac{c}{a}$$

其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是多项式的两个根。

复数根和实根的混合情况

如果多项式只有一个实根，它是唯一的根，如果有两个复数根，它们可以表示为：

$$x_1=r\cos \theta +ir\sin \theta$$$$x_2=-r\cos \theta +ir\sin \theta$$

其中 $r$ 是实根与其相对位置的距离，$\theta$ 是角度。

非正方形多项式和有理系数的关系

对于一个非正方形多项式 $a{x}^2+bx+c=0$，如果其根是复数，则有：

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$$$x_1\times x_2=\frac{c}{a}$$

且：

$$x_1=x_2$$$$x_1=-x_2$$

这两个根是复共轭的。

总结

韦达定理描述了多项式根与系数之间的关系，特别是在实根和复数根的情况下。它为多项式的分析和求解提供了一种重要的工具，帮助研究者和数学家解决各种问题。