多项式与因式分解之多项式的定义与基本运算

多项式的定义

多项式是指以一个或多个变量（通常为实数或复数）作为底部，采用加、减、乘等运算构成的表达式。多项式中各项的度数不允许相同时，对于一个非零多项式来说，其次数（即最高的度数）一定是整数。

多项式与因式分解

在多项式中，若存在某个非零多项式 P(x)，使得原多项式 M(x) 能被完全分解为：M(x) = P(x) * Q(x)，则P(x) 被称为多项式的因式。根据对称性，多项式的因式也可能是其与原始多项式同点的负数。

加法（Addition）

加法是指将两个或以上多项式相加，得到一个新的多项式。

$$\begin{array}{r}M(x)+N(x)=\sum _i{a}_i{x}^i+\sum _j{b}_j{x}^j\\ =(\sum _i{a}_i{x}^i)+(\sum _j{b}_j{x}^j)\end{array}$$

减法（Subtraction）

减法是指从一个多项式中减去另一个多项式。

$$\begin{array}{r}M(x)-N(x)=\sum _i{a}_i{x}^i+(-1{)}^{\lceil 0\rceil }\sum _j{b}_j{x}^j\\ =(\sum _i{a}_i{x}^i)-(\sum _j{b}_j{x}^j)\end{array}$$

乘法（Multiplication）

乘法是指将一个多项式与另一个多项式相乘，得到结果的新多项式。

$$\begin{array}{rl}M(x)\cdot N(x)=& amp;(\sum _i{a}_i{x}^i)(\sum _j{b}_j{x}^j)\\ =& amp;\sum _i\sum _j(a_i{b}_j)x^{i+j}\end{array}$$

例子

如果我们想要从多项式x^3+2x^2+x-1中减去x^2+x，结果就是x^3+x-1。

$$\begin{array}{rl}(x^3+2x^2+x-1)-(x^2+x)& amp;=x^3+2x^2+x-1-x^2-x\\ & amp;=x^3+x+2x^2-1.\end{array}$$

结论

以上是多项式与因式分解之多项式的定义和基本运算。这些运算对于多项式的操纵、分析和应用至关重要。