有限域之有限域中的运算：加法、乘法、逆元计算

加法（Addition）

在一个有限域中，加法是一个自闭集的运算，表示两个元素之间的和。对于任何两个元素 $a,b\in F$，其加法结果是：

$$a+b=a\mathrm{mod}n$$

其中 $n$ 是 finite field 的底数。

乘法（Multiplication）

在一个有限域中，乘法是一个闭集的运算，可以表示两个元素之间的乘积。对于任何两个元素 $a,b\in F$，其乘法结果是：

$$ab=a^p{b}^q$$

其中 $p$ 和 $q$ 是 finite field 的特征多项式。

逆元（Inverse）

在一个有限域中，逆元是一个元素的加法逆元。对于任何非零元素 $a\in F$，其逆元是：

$$a^{-1}=a^{p-2}$$

其中 $p$ 是 finite field 的特征多项式。

提示

• 在一个有限域中，乘法和逆元是相关的。对于任何非零元素 $a\in F$，其乘法结果和加法逆元相同： $$ab = a^{p-2}$$
• 在一个有限域中，加法和乘法不一定是对称的。这意味着对于两个元素 $a,b\in F$，它们的加法和乘法结果可能不同。
• 在一个有限域中，逆元存在于每个非零元素之上。对于任何非零元素 $a\in F$，其逆元是 $a^{p-2}$。

例子

假设我们有一个特定于二项几何体的有限域，其底数为 $q=3$。则对于两个元素 $a,b\in F$，它们的加法结果是：

$$ab=a^3+b^3$$

如果我们选择 $a=1$ 和 $b=2$，则得到：

$$12=1^3+2^3=9$$

因此，我们可以看出该有限域中的加法结果遵循二项几何体。

提示

• 在一个特定于二项几何体的有限域中，乘法和逆元与加法是相关的。
• 任何非零元素都有一个逆元，它是该元素乘以自身的 $p-2$ 次方。
• 两个元素在某些有限域中可能具有不同于其加法结果的乘法结果。

最后

对于 finite field 的运算，加法、乘法和逆元都是重要的。这些操作是构成该结构的基础，这些结构有很多应用，例如线性代数、几何理论、数论等。