域扩张之有限域的构造：通过模不可约多项式的剩余类环构造有限域

1. 概论

有限域是可加积群理论中的一个基本概念。它是将有理数集加上某个非零常数的乘积生成的。这个过程被称为“域扩张”。在本文中，我们将介绍如何通过模不可约多项式的剩余类环构造有限域。

2. 模不可约多项式

一个多项式P(x)是不可约多项式的，如果它不能被其他多项式的乘积分解出。例如，x^2 + 1是不可约多项式，而x^2 - 4 = (x-2)(x+2)是可约多项式。

3. 模不可约多项式的剩余类环

对于某个不可约多项式P(x)，我们可以定义一个剩余类环R_P{x}，其中每个元素都对应于某个值r\in\mathbb{F}_p的余数。形式如下：

$$R_{P}x=\{\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\mid P(x)\text{ divides }{a}_i\}$$

其中 n\geq 0。

4. 构造有限域

我们可以通过将剩余类环R_P{x}上的所有元素加上某个非零常数生成一个有限域。形式如下：

$$F(P)=R_{P}x+{\mathbb{Z}}_n$$

其中 n\geq 1。

5. 例子

一个例子是将P(x)=x^2+1的剩余类环R_{x^2+1}{x}构造出来。然后，我们可以将这个剩余类环加上零常数生成有限域：

$$F(P)=R_{x^2+1}x+{\mathbb{Z}}_n=\{a_0+a_{1}x\mid (x^2+1)\text{ divides }{a}_i\}+{\mathbb{Z}}_n$$

6. 性质

有限域F(P)具有以下性质：

• 每个元素都对应于某个值r\in\mathbb{F}_p的余数。
• F(P)是可加积群理论中一个基本概念。
• F(P)可以通过将剩余类环R_P{x}上的所有元素加上非零常数生成。

7. 结论

域扩张之有限域的构造：通过模不可约多项式的剩余类环构造有限域是可行的。这种方法可以用来构造各种不同的有限域，从而对可加积群理论进行深入研究和应用。