有限域之有限域的构造：通过不可约多项式构造有限域

引入

有限域是数论中的一个重要概念，描述的是满足某些特定性质的数集。有限域可以通过不可约多项式将存在数域的具有特定性质的结构分解而得到。这个章节将介绍如何使用不可约多项式构造有限域。

不可约多项式的定义

一个多项式 $f(x)$ 是一元多项式，其系数都是整数，且其次数为非负整数。多项式 $f(x)$ 被称为不可约的，如果它不能被任何非零多项式除出。

有限域的构造

给定一个有理数域 $\mathbb{Q}$，我们可以将 $\mathbb{Q}$ 中的每个元素代入多项式 $f(x)$ 中，以产生一个有限域。具体来说，如果 $f(x)$ 是不可约的，则：

$$F=\{\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i|a_i\in \mathbb{Q},n\ge 0\}$$

其中 $a_i$ 是从 $\mathbb{Q}$ 中选择的整数，且 $x$ 是 $f(x)$ 的根。

有限域性质

有理数域 $\mathbb{Q}$ 是一个例子，满足以下性质：

• $\mathbb{Q}$ 是一个无限集合。
• $\mathbb{Q}$ 中的每个元素都可以被整除。
• $\mathbb{Q}$ 中的每个元素都是有理数。

我们可以将 $\mathbb{Q}$ 分解为几个部分，每个部分对应于一个可以通过不可约多项式实现的有限域：

$$\mathbb{Q}=\{\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i|a_i\in \mathbb{Z},n\ge 0,f(x)\text{ 是 }{a}_i\text{ 的因数}\}$$

其中 $f(x)$ 是不可约的多项式，且 $a_i$ 是从 $\mathbb{Z}$ 中选择的整数。

有限域的应用

有限域具有许多重要性质和应用，在代数、数论和等离原理中都有广泛的使用。例如：

• 移动点的定理：一个有限域中的每个数字都是 $2^n$ 的形式。
• 非可逆多项式的性质：不可约多项式具有特定的性质，描述了它们与有限域之间的关系。

综上所述

通过不可约多项式构造有限域是一个有趣且复杂的主题。它涉及将存在数域的具有特定性质的结构分解为更小的部分，并揭示这些部分之间的关系。在接下来的章节中，我们将进一步探讨此类有限域及其应用。