有限域之有限域的定义与性质：阶数、特征

基本概念

有限域是一种数值类型，其元素集合满足以下条件：

• 是一个数集（数字）。
• 每个元素都在集合内存在。
• 除0外，每个元素都是非零的。
• 具有对称运算。

阶数

有限域中每个元素对应的一个实值，称为其阶数。例如，在一个有限域 R 中，当存在一个数字 a，则其阶数是实数 a 的值。

特征

特征是有限域的基本属性，它决定了该有限域的性质。

• 加法恒等式: 0 为零元，所有元素都在集合内。
• 乘法恒等式：1 为单位元，并满足等式： a * b = c if and only if b = c/a for all a, b, c in the domain.
• 逆元:对于每个非零元素 a 有一个相反的元素，称为其倒数，满足 a * a^{-1} = 1

运算性质

有限域内的运算具有以下特征：

• 闭合：a + b ∈ R if and only if a, b ∈ R
• 分配律：(a + b) * c = a * c + b * c (a, b, c ∈ R)
• 逆元存在：对于每个非零元素 a，有一个逆元 a^{-1}，使得 a * a^{-1} = 1
• 分配律：(a * b) + c = a * (b + c)

对称运算

有限域中所有元素都满足对称运算。例如，如果我们在有限域 R 中有两个数字 a 和 b，那么它们的和和乘积是相同的。

a + b = b + a a * b = b * a