基本性质

单位元

单位元是域的元素，可以作为除法的逆元。也就是说，如果 $a$ 是单位元，那么对于任何元素 $b$，我们都有 $ab=1=b1$。

$$\begin{array}{rcl}ab& =& 1\\ a^{-1}b& =& 1\\ b& a^{-1}，\end{array}$$

所以，$a=a^{-1}$。这意味着单位元是自身的逆元。

逆元

对于每个非零元素 $a$，它有一个逆元，即 $a^{-1}$。满足以下条件：

$$a{a}^{-1}=1=a^{-1}a.$$

如果域中存在两个相同的逆元，则该逆元对应的元素将是零，所以域中不可能有两个不同的非零元素，每个非零元素都有一个唯一的逆元。

零因子

在一个领域中，0 是唯一的零因子。换句话说，对于任何 $a$ 的情况，$a\cdot 0=0$，而对任何 $a$，$0\cdot a=0$，但这并不意味着对于任何 $a$ 和 $b$，$(a+b)\cdot 0=0$。因此，在一个域中存在唯一的零因子。