域的定义与基本性质

有理数域

定义

一个有理数域是具有以下性质的集合：

• 闭合：对于所有 $a$ 和 $b$，如果 $a$ 和 $b$ 是有理数，并且 $a+b$、$ab$ 和 $-a$ 也是有理数，则 $a+b$、$ab$ 和 $-a$ 也属于该集合。
• 加法：在有理数域中，所有元素都可以通过加法运算得到其它元素。
• 乘法：在有理数域中，所有元素都可以通过乘法运算得到其它元素。

例子

最简单的有理数域是$\mathbb{Z}$，即整数集合。其他典型的有理数域包括实数域和复数域。

实数域

定义

一个实数域是具有以下性质的集合：

• 闭合：对于所有 $a$ 和 $b$，如果 $a$ 是实数，并且 $a+b$、$ab$ 和 $-a$ 也是实数，则 $a+b$、$ab$ 和 $-a$ 也属于该集合。
• 加法：在实数域中，所有元素都可以通过加法运算得到其它元素。
• 乘法：在实数域中，所有元素都可以通过乘法运算得到其它元素。

例子

最简单的实数域是$\mathbb{R}$，即实数集合。其他典型的实数域包括有理数域和复数域。

复数域

定义

一个复数域是具有以下性质的集合：

• 闭合：对于所有 $a$ 和 $b$，如果 $a$ 是复数，并且 $a+b$、$ab$ 和 $-a$ 也是复数，则 $a+b$、$ab$ 和 $-a$ 也属于该集合。
• 加法：在复数域中，所有元素都可以通过加法运算得到其它元素。
• 乘法：在复数域中，所有元素都可以通过乘法运算得到其它元素。

例子

最简单的复数域是$\mathbb{C}$，即复数集合。其他典型的复数域包括实数域和有理数域。

有限域（field-theory）

定义

一个有限域是具有以下性质的集合：

• 闭合：对于所有 $a$ 和 $b$，如果 $a$ 是元素，并且 $a+b$、$ab$ 和 $-a$ 也是元素，则 $a+b$、$ab$ 和 $-a$ 也属于该集合。
• 加法：在有限域中，所有元素都可以通过加法运算得到其它元素。
• 乘法：在有限域中，所有元素都可以通过乘法运算得到其它元素。
• 逆元：对于所有 $a$ 且 $a\ne 0$，存在一个元素 $b$ 使得 $ab=1$。

例子

最简单的有限域是${\mathbb{F}}_2$，即二项数域。其他典型的有限域包括有理数域和实数域等。