有限域之有限域的分类：素数阶有限域、非素数阶有限域

素数阶有限域

定义

素数阶有限域是指满足以下条件的有限域：

$${\mathbb{F}}_p^n=\{\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{p}^i|a_i\in {\mathbb{F}}_p,0\le i<n\}$$

其中，${\mathbb{F}}_p$是有限素数阶整数域。

性质

• ${\mathbb{F}}_p^n$ 是一个向量空间，其基数为 $p^n$。
• 所有元素在该域内都是整数。
• 该域中没有除0以外的素数。
• ${\mathbb{F}}_p^n$ 中的加法和乘法满足分配律。

应用

• 素数阶有限域是研究有限域的一种常见的方法，因为它们可以方便地处理多项式的根和整数除算问题。
• 这些域在计算代数、数论学科和代数几何等领域中的应用非常广泛。

非素数阶有限域

定义

非素数阶有限域是指满足以下条件的有限域：

$${\mathbb{F}}_{p^n}=\{\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{p}^i|a_i\in {\mathbb{F}}_p,0\le i<n\}$$

其中，${\mathbb{F}}_p$是有限素数阶整数域。

性质

• ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 是一个向量空间，其基数为 $p^n$。
• 所有元素在该域内都是整数。
• 该域中没有除0以外的素数。
• ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 中的加法和乘法满足分配律。

应用

• 非素数阶有限域也用于研究有限域的一般性质，它们在多项式根计算、整数除算等领域中的应用是常见的。
• 由于它们更复杂，所以研究者通常首先考虑素数阶域，以确保结果准确和通用。