域扩张中的零化多项式：定义与性质

什么是零化多项式？

在域扩张理论中，零化多项式是域中具有特定根的多项式。给定一个有 $n$ 个变量的多项式 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，如果它具有根 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，则我们可以定义零化多项式为：

$$\prod _{i=1}^n(x-x_i)$$

定义

一个域的零化多项式是域中具有最小可能数量根的多项式。这意味着，如果我们有多个多项式，它们都具有相同的根，那么它们的零化多项式也应该具有相同的根。

形式上的定义：

对于一个有 $n$ 个变量的多项式 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，如果存在一个域 $\mathcal{D}$ 使得 $f$ 在 $\mathcal{D}$ 中具有最小可能数量根，则我们称 $f$ 是零化多项式。

性质

1. 如果两个多项式具有相同的根，那么它们的零化多项式也是同一个多项式

假设 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和 $g(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 是两个有 $n$ 个变量的多项式，它们都具有根 $a_1,a_2,\dots ,a_n$。那么：

$$\prod _{i=1}^n(x-x_i)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=g(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$

2. 如果域 $\mathcal{D}$ 使得多项式 $f$ 在其中具有最小可能数量根，那么该多项式的零化多项式也是在同一个域内具有最小可能数量根

假设有两个域 ${\mathcal{D}}_1$ 和 ${\mathcal{D}}_2$，它们都使得多项式 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 在其中具有最小可能数量根。那么：

$$\prod _{i=1}^n(x-x_i)$$

在 ${\mathcal{D}}_1$ 中具有最小可能数量根。

3. If $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ is a zero multiple polynomial in $k[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$，then $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=p(\prod _{i=1}^n(x-x_i))$ where $p$ is a polynomial

对于一个有 $n$ 个变量的多项式 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，如果它是零化多项式，那么：

$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=p(\prod _{i=1}^n(x-x_i))$$

其中 $p$ 是一个多项式。