子群与正规子群之子群的交与并：性质与运算

引言

子群和正规子群之间存在着一个复杂的关系，这一章节将会介绍如何处理子群与正规子群之子群的交与并，及其相关性质。

子群是指一种对称群G中，可能包含G自身或仅包含其元素的一组 subgroup。它是一个子集，当且仅当该子集满足闭合运算（乘法）和逆元运算时，其每个元素都可以被映射为另一个子群。

正规子群是指对称群G中，每个非单一元素的稳定点（即，任何元素g不在其稳定点下对称时，都会得到原点转换）都是同质的。换句话说，它们包含所有元素，只要这些元素在原点处形成相同的对称图形，即它们在原点周围的对称图形与原始图形相同。

当两个子群G1和G2相交时，它们的子集也会相交。当一个子群是另一个子群的子集时，我们可以将其称为包含关系。因此，子群与正规子群之间的包含关系可以用下面的公式来表示：

G_{1} \circ G_{2} = {\prod_{i = 1}^{n} g_{i} | g_{i} \in G_{1}, 1 \leq i \leq n},

其中 $G_{1} \circ G_{2}$ 是两个子群之间的交。我们还可以将子集表示为：

(⋂_{i = 1}^{n} G_{i}) \subseteq ⋃_{i = 1}^{n} H_{i},

其中 $⋂$ 表示交，并且 $⋃$ 表示集合。

当子群与正规子群之间存在包含关系时，我们可以得出以下性质：

当两个子群G1和G2相交时，我们可以使用乘法（或其他运算）将它们相加。我们可以使用以下公式表示：

(G_{1} \circ G_{2}) \cdot H = {\prod_{i = 1}^{n} g_{i} | g_{i} \in G_{1}, h_{i} \in G_{2}, 1 \leq i \leq n},

其中 $(G_{1} \circ G_{2}) \cdot H$ 是两个子群之间的乘积。