群表示论之有限群的表示分解：完全可约性
WHAT IS GROUP REPRESENTATION THEORY?
组表示论是研究有限群和它们的representation上的基本问题的一门数学领域。特别是，它关注于如何将一个有限群表示为不同形式的代数结构。
WHAT IS A REPRESENTATION OF A FINITE GROUP?
在组学中，一个表示是指一个向量空间的集合，其中每个向量都对应于某个元素（称为类群）的作用。给定一个有限群 G 和其 representation V，我们可以将 V 分成两个子集：
，代表与 无关的元素的作用的集合 ，代表与 无关的元素的作用的集合
WHAT IS THE CONCEPT OF COMPLETELY FINITE REPRESENTATION?
完全可约性（complete reducibility）是一种情况，即可以将一个有限群的表示分解为基本表示和简化部分。基本表示是指具有相同最大子群的表示，而简化部分则是指不能进一步简化的表示。
HOW TO COMPUTE COMPLETELY FINITE REPRESENTATION
计算完全可约性的过程涉及以下步骤：
- 确定基本表示: 将表示分解为基本表示和简化部分。基本表示是具有相同最大子群的表示。
- 求最大子群: 确定表示中每个基本表示的最大子群。这可以使用多重性质（multiple properties）来进行。
- 简化表示: 将每个基本表示的最大子群除以其自身，然后将其乘以反对称矩阵。这些操作可以进一步简化表示。
WHAT IS THE IMPLICATION OF COMPLETELY FINITE REPRESENTATION?
完全可约性对于理解有限群和它们的representation有重要意义。它可以帮助我们：
- 确定群的最大子群：通过计算基本表示中的最大子群，可以确定群的最大子群。
- 研究 group actions：完全可约性可以用于研究group actions，例如group representations和characters。
- 应用数学模型：在数学模型中，完全可约性可以用来分析系统的行为，例如线性代数中的矩阵操作。