有限群与无限群之群的作用

定义

有限群和无限群是群的分类。

有限群：在一个有限群中，元素的数量是 finite 的。这种群可能包含有有限个元素，也可能包含无数个元素，但它中的每个元素都必须满足某些特定的性质。 无限群：在一个无限群中，元素的数量是 infinite 的。在这个群中，没有一个元素的数量可以用整数来表示。

轨道

轨道是指群中所有能被某个元素应用的其他元素的集合。换句话说，如果我们有一个元素 $g$，那么轨道包含所有满足以下条件的元素：$x\in G,x=g^n\text{ for some }n\in Z$

稳定子

稳定子是指群中不变的子集。换句话说，如果我们有一个集合 $S$, 且对于所有 $g\in G$, 都满足 $gS=S$，那么这个集合就是一个稳定子。

公式

如果我们有一个有限群 $G$，并且有两个元素 $a,b\in G$，那么轨道包含以下公式：

$$[a]=\{a^n|n\in Z\}$$

同样，如果我们有一个无限群 $G$，并且有两个元素 $a,b\in G$，那么轨道包含以下公式：

$$[a]=\{a^n|n\in Z^{+}\}$$

参考资料

• 有限群的定义
• 无限群的定义