群的同态与同构之同态基本定理：核、像与商群的关系

1. 概念简介

在群 theory 中，我们常见三个关键概念：核（kernel）、像（image）和商群（quotient group）。本节将介绍这些概念及其之间的关系。

2. 核（Kernel）

定义：给定一个群 $G$ 和一个子群 $H$，其核由所有在 $H$ 内可被除以的元素组成。

公式：

$$\ker (H)=\{g\in G\mid g\cdot h=e,\mathrm{\forall }h\in H\}$$

3.像（Image）

定义：给定一个群 $G$ 和一个子群 $H$，其像由所有通过 $H$ 上的作用可得到的元素组成。

公式：

$$\text{im}(H)=\{\varphi (h)\mid h\in H\}$$

4. 商群（Quotient Group）

定义：给定一个群 $G$ 和一个子群 $H$，其商群由所有在 $H$ 上可被除以的元素组成。

公式：

$$G/H=\{\varphi (g)\mid g\in G\}$$

5. 同态与同构之同态基本定理

给定两个群 $G$ 和 $H$，如果存在一个同态 $\varphi :H\to K$，则存在一个同构 $\psi :G\to K$，使得 $\psi (\ker (H))=\{e_K\}$，其中 $e_K$ 是 $K$ 中的单位。

公式：

$$\begin{array}{rl}\psi (g)& =\varphi (h{)}^{-1}g\varphi (h),\\ \text{对于所有 }g\in G,h\in H,\varphi (h{)}^{-1}g\varphi (h)=e_K,\\ \ker (\psi )& =\{\varphi (h)\mid h\in H\},\\ \psi (g)& =\varphi (g)\varphi (h),\\ \text{对于所有 }g\in G,h\in H,\end{array}$$

6. 应用和例子

商群和同态之间的关系可以应用于各种群 theory 题目。例如，给定一个群 $G$ 和一个子群 $H$，我们可以构造一个同态 $\varphi :H\to G/H$，使得 $\ker (\varphi )=\{e_H\}$。

7. 结论

群的同态与同构之同态基本定理是一个重要概念，它们有助于我们理解群 theory 中的核、像和商群之间的关系。通过这种关系，我们可以构造一个同态并推导出相应的同构，从而解决各种群 theory 题目。