群的定义与基本性质之群的中心与正规化子：定义与性质

群的定义

群是一组元素的集合，其中每个元素在某一运算上可以代替另一个元素，满足以下三个条件：

1. 闭合：对于所有 $a$ 和 $b$ 成员，运算结果也是该群的成员。
2. 适当性：对于所有 $a$、$b$ 和 $c$ 成员，运算遵循以下规则： $$ (ab)c=a(bc)。$$
3. 逆元存在性：对于每个成員 $a$，存在一个逆元 $a^{-1}$，使得 $a{a}^{-1}=e$，其中 $e$ 是群的单位。

群的中心

群的中心是指包含所有满足 $ax=axa$ 的元素。也就是说，如果某个元素在整个群中与所有其他元素 commute，那么它就是群的中心。

群的基本性质

群的对称性质

对于任何群 $G$，如果 $f:G\to H$ 是一个射影（即一个函数），则 $f$ 是一个群的同构群（即两个群之间存在一个一对一的图像和对应的群）；换句话说，如果 $f$ 在所有运算上是一致的，则 $f$ 也是一个群。

群的可逆性质

对于任何群 $G$，如果有一个射影 $f:G\to H$，则存在一个射影 $g:H\to G$ 使得 $gf$ 等于原群和射影之间的同构群。换句话说，如果所有元素都是同构，那么群是可逆的。

群的共轭性质

对于任何群 $G$，如果有一个射影 $f:G\to H$，则存在一个射影 $g:H\to G$ 使得 $gf(x)=x^{-1}$。换句话说，如果所有元素都是同构，那么群是共轭的。

群的子群性质

对于任何群 $G$，如果有一个射影 $f:G\to H$，则存在一个射影 $g:H\to G$ 使得 $gf(x)=x^{-1}$。换句话说，如果所有元素都是同构，那么群是子群。

群的正规化子

对于任何群 $G$，如果有一个射影 $f:G\to H$，则存在一个射影 $g:H\to G$ 使得 $gf(x)=x^{-1}$。换句话说，如果所有元素都是同构，那么群是正规化子的。

群的中心性质

对于任何群 $G$，如果有一个射影 $f:G\to H$，则存在一个射影 $g:H\to G$ 使得 $gf(x)=x^{-1}$。换句话说，如果所有元素都是同构，那么群是中心的。

群的正规化子性质

对于任何群 $G$，如果有一个射影 $f:G\to H$，则存在一个射影 $g:H\to G$ 使得 $gf(x)=x^{-1}$。换句话说，如果所有元素都是同构，那么群是正规化子的。

群的中心与正规化子

群的中心

如果 $C$ 是一个群的中心，那么对于任何 $g\in G$，我们有 $gc=cg$。这意味着，对于任何 $h\in H$，我们也有 $hc=ch$。

群的正规化子

如果 $N$ 是一个群的正规化子，那么对于任何 $n\in N$ 和 $g\in G$，我们有 $gn=ng$。这意味着，对于任何 $h\in H$，我们也有 $hn=nh$。

群的中心与正规化子的性质

群的中心是群的子群

如果 $C$ 是一个群的中心，那么对于任何 $g\in G$，我们有 $gc=cg$。这意味着，对于任何 $h\in H$，我们也有 $hc=ch$。因此，$C$ 是群 $G$ 的子群。

群的正规化子是群的正规化子

如果 $N$ 是一个群的正规化子，那么对于任何 $n\in N$ 和 $g\in G$，我们有 $gn=ng$。这意味着，对于任何 $h\in H$，我们也有 $hn=nh$。因此，$N$ 是群 $G$ 的正规化子。

群的中心是群的正规化子的逆元集

如果 $C$ 是一个群的中心，那么对于任何 $g\in G$，我们有 $gc=cg$。这意味着，对于任何 $h\in H$，我们也有 $hc=ch$。因此，$C$ 的逆元是群 $G$ 的正规化子。

群的正规化子是群的中心

如果 $N$ 是一个群的正规化子，那么对于任何 $n\in N$ 和 $g\in G$，我们有 $gn=ng$。这意味着，对于任何 $h\in H$，我们也有 $hn=nh$。因此，$N$ 的中心是群 $G$ 的中心。

群的中心与正规化子的定义

群的中心

一个群 $G$ 中的元素是 $g\in G$，使得对于所有 $h\in H$，我们有 $hg=gh$。

群的正规化子

一个群 $G$ 中的元素是 $n\in N$，使得对于所有 $g\in G$，我们有 $gn=ng$。