有限群与无限群之循环群的定义和性质

定义

###有限群的循环群

一个有限群 $G$ 的循环群或循环子群是指 $G$ 中存在一个生成元 $g\in G$，使得对于所有 $n\ge 0$，$g^n=e$，其中 $e$ 是群中单位元素。这种情况下，$G$ 可以表示为 ${\mathbb{Z}}_m$ 中的 $(m,g)$ 对。

###无限群的循环群

一个无限群 $G$ 的循环群是指存在一个生成元 $g\in G$，使得对于所有 $n>0$，$g^n=e$。这种情况下，$G$ 可以表示为 $\mathbb{Z}$ 中的 $(m,g)$ 对，其中 $e$ 是群中单位元素。

子群结构

###有限群的循环群

一个有限群 $G$ 的循环群中的子群可以由以下公式表示：

$$⟨g^k⟩=\{g^{ik}|i\in \mathbb{Z}\},$$

其中 $g^k$ 是生成元，$i\in \mathbb{Z}$。

###无限群的循环群

一个无限群 $G$ 的循环群中的子群可以由以下公式表示：

$$⟨g^n⟩=\{g^{nk}|k\in \mathbb{Z}\},$$

其中 $g^k$ 是生成元，$n\in \mathbb{Z}$。

性质

###有限群的循环群

• $G$ 的循环群中存在一个单位元素，即 $(e,1)$。
• $G$ 的循环群中的子群结构是递减的，这意味着 $⟨g^k⟩\subseteq ⟨g^{k+1}⟩$。
• $G$ 的循环群可以表示为 ${\mathbb{Z}}_m$ 中的 $(m,g)$ 对，其中 $e$ 是单位元素。

###无限群的循环群

• $G$ 的循环群中存在一个单位元素，即 $(e,1)$。
• $G$ 的循环群中的子群结构是递减的，这意味着 $⟨g^n⟩\subseteq ⟨g^{n+m}⟩$，其中 $m>0$。
• $G$ 的循环群可以表示为 $\mathbb{Z}$ 中的 $(m,g)$ 对，其中 $e$ 是单位元素。