子群与正规子群之群的同余关系与正规子群的联系

==子群和正规子群之间的关系==

1. 定义

子群（Subgroup）是群中的一个子集，满足该子集也是一个群，并且包含原元。

正规子群（Normal Subgroup）是群的一个子群，对于某个元素a thuộc群，所有a^n 的等式都保持在该子群之内。

2. 子群与正规子群的定义

子群：一个群中的一个子集，它也是一个群，并且包含原元。

正规子群：一个群中的一个子群，对于某个元素a thuộc群，所有a^n 的等式都保持在该子群之内。

3. 子群与正规子群的性质

• 子群是群的子集，并且包含原元。
• 正规子群是满足特定性质的一个子群，对于某个元素a thuộc群，所有a^n 的等式都保持在该子群之内。

4. 子群与正规子群之间的关系

• 子群是正规子群的特例。
• 正规子群也是子群的特例。

5. 正规子群和群的关系

$G=\{e,a,b\}$，其中 $a^2=e$, $b^3=e$

$$\begin{array}{rl}& G_{sub}=\{e,a,b\}\\ & \text{该群中，}(ab{)}^3=e\Rightarrow ab=ba\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& G_{reg}=\{e,a^2,b^3\}\\ & e{\text{inG}}_{reg},a^2=b^3{\text{inG}}_{reg},ab=e{\text{inG}}_{reg}\end{array}$$

$H=\{e,a,b\}$，其中 $a^2=e$, $b^3=e$

$$\begin{array}{rl}& H_{sub}=\{e,a,b\}\\ & \text{该群中，}(ab{)}^3=e\Rightarrow ab=ba\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& H_{reg}=G\\ & e{\text{inH}}_{reg},a^2=b^3{\text{inH}}_{reg},ab=e{\text{inH}}_{reg}\end{array}$$

$S=\{e,b\}$，其中 $b^3=e$

$$\begin{array}{rl}& S_{sub}=\{e,b\}\\ & S_{sub}\text{neqG}\\ \text{该群中，}(ab{)}^3=e\Rightarrow ab=ba\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& S_{reg}=G\\ & e{\text{inS}}_{reg},b^3=e{\text{inS}}_{reg},e\ne b{\text{inS}}_{reg}\end{array}$$

$T=\{e,b,a\}$，其中 $a^2=e$, $b^3=e$

$$\begin{array}{rl}& T_{sub}=\{e,a,b\}\\ & \text{该群中，}(ab{)}^3=e\Rightarrow ab=ba\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& T_{reg}=G\\ & e{\text{inT}}_{reg},a^2=b^3{\text{inT}}_{reg},ab=e{\text{inT}}_{reg}\end{array}$$