子群与正规子群之定义与性质

definition_of_subgroup

子群（subgroup）是满足以下条件的集合：

• 属于给定集中的一个元素
• 对所有元素在集合中，具有闭合性，即集合中元素的乘积也属于该集合
• 对于任何两个元素都有逆元

definition_of_normal_subgroup

正规子群（normal subgroup）是满足以下条件的子群：

• 通过对集合中的任何元素进行转换，对集合内部的所有元素保持一致性。

属性与性质

子群中元素集的乘积

对于任何子群 G 中的两个元素 $a,b\in G$，则有 $ab\in G$

子群中逆元存在

对于任何子群 G 中的元素 $a\in G$，则有 $a^{-1}\in G$

正规子群中的性质

对于任何正规子群 H 中的两个元素 $a,b\in H$，则有 $aba{b}^{-1}{b}^{-1}=e$。

其中，$e$ 为集合中元素（或单位元）。

子群与正规子群之分类与性质

主子群和正常主子群

对于一个正规子群 $H$，主子群是最小的正规子群，该子群包含所有由多个元素组成的元素。其中，主子群也是集合中元素。

对于一个正常子群 $N$，如果 $N=H$，则称为正常主子群。如果 $H=N$ 且 $H\ne N$，则为非正常主子群。

正规主子群

对于一个正规子群 $G$，如果其中所有的正规主子群都是集合中元素，则称之为正规主子群。其他情况则为非正规主子群。

子群与正规子群之构造和应用

子群构造

对于一个集合 G 和一系列其它集合 $H_1,H_2,\cdots$，如果它们是集合中的元素并且满足以下条件，则构成集合：

• $a\in H_i⟺a^n\in H_{i+1}$
• $G={\cup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{H}_i$

其中，对于任意两个实数$a,b$，我们有：$$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n^{2n}=|ab|.$$

正规子群应用

对于一个集合 $G$，如果它存在一个正规子群，则该集合是具有某些组合代数性质的集合。

集合G的正规子群构造：如果集合G中存在元素，使得所有其他元素的逆元也在集合中，则集合为正规子群。对于集合G，其正规子群构成条件为：$$\forall a\in G, \exists b\in G, ab=ba.$$

子群与正规子群之计算和确定

对于一个集合 $G$，如果我们需要找到集合的子群或正规子群，我们可以使用以下方法：

• 通过计算集合中元素的乘积，得出子群。
• 通过计算集合中每个元素的逆元，得出正规子群。

子群计算公式

对于任何集合 $G$，其子群由以下公式给出：$$\left<\left<\cdots<\langle a_1,a_2,\cdots\rangle\rangle\right>\right>.$$

其中，$⟨a_1,a_2,\cdots ⟩$ 为集合 $a_1,a_2,\cdots$ 的最小正规子群。

正规子群计算公式

对于任何集合 $G$，其正规子群由以下公式给出：$$\left<\left<\cdots<\langle a_1,a_2,\cdots\rangle\rangle\right>\right|_{N}.$$

其中，$⟨a_1,a_2,\cdots ⟩$ 为集合 $a_1,a_2,\cdots$ 的最小正规子群，并且 $N$ 是集合中的正常主子群。

综上所述

对于任何集合 G，可以通过定义、属性和性质来确定其子群或正规子群。这些子群是具有组合代数结构的集合，对于各种应用具有重要意义。