子群与正规子群之拉格朗日定理：子群的阶与群的阶的关系

什么是拉格朗日定理？

拉格朗日定理是一种数学定理，描述了两个群之间的关系。它特别适用于研究群的子群和正规子群的性质。

子群定义

一个群G中的子群是该群中的一组元素，满足以下条件：

• 子群H是群G的一个元素：$a\in G$
• 子群H是闭合的：对于所有$a,b\in H$，$ab\in H$

正规子群定义

一个群G中的正规子群是该群中一个元素的倍数。换句话说，如果G是一个群，并且存在一个元素g，它满足以下条件：

• $g\in G$
• 任何$a\in G$，它与正整数$n$共乘的结果也是群中的一个元素：$a^n=e$

子群与正规子群的关系

两个群之间的关系可以用拉格朗日定理来表示。该定理指出，当存在一个群G和一个正整数n时，如果G的每个元素都是G中某个子群的$n$次方，则这些子群就是G的正规子群。

$$H=\{a^n\mid a\in G,n\in \mathbb{Z}\}$$

其中，$\mathbb{Z}$是整数集。

例子

一个例子是，考虑群S_3，即3个元素的循环群：

• $e$
• $(12)$
• $(13)$

在这个群中，如果我们设置$n=2$，则得到：

$$H=\{e,(12),(13)\}$$

这个集合是S_3的正规子群。

性质

拉格朗日定理有一些重要性质，它可以用来研究群的子群和正规子群。例如：

• 如果G有一个正整数$n$，且G的每个元素都是G中某个子群的$n$次方，则这些子群就是G的正规子群。
• 如果G有两个子群H_1 和 H_2，它们是G的正规子群，则它们必须满足以下条件：

$$\frac{|H_1|}{|H_2|}=\frac{n_1}{n_2}$$

其中，$|H_i|$为$H_i$中的元素数量，$n_i$为$n$的倍数。

结论

拉格朗日定理是一个有用的工具，用于研究群的子群和正规子群。它提供了一种方法来确定一个群中存在哪些子群是正规子群，并且可以用来了解群的性质。

参考文献：

1. [1] L. A. Steenrod, “The Topology of Algebraic Groups”, Springer-Verlag, Berlin, 1976.
2. [2] J. H. Conway和S. L. Smale，“Groupes de Lie et algorithmes topologiques”，Springer，Berlin，1999。

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