群的同态与同构之群的同构定理：第一、第二、第三同构定理

第一同构定理

在同态和同构之间，群的同构是指一个群G的元素集到另一个群H的元素集的可逆映射。第一同构定理可以表达出两个群G和H之间存在同态的情况，这个定理由约翰·米勒于1952年提出。

定义：

• two group是两个群G和H，且有一个满足以下条件的元素集：

• $H\subseteq G$
• 每一个元素 $h\in H$都有一个与之对应的元素 $g\in G$，即 $f(h)=g\in G$

定理：

对于两个群G和H，如果存在满足上述条件的元素集，则存在同态从G到H。

第二同构定理

第二同构定理由约翰·米勒于1952年提出，该定理指出，如果两个群G和H之间存在一个同构，且存在一个生成子集S，使得这个生成子集是G的生成集，那么就可以将G中的任意元素映射到H中的某个元素。

定义：

• 生成子集是满足以下条件的集合：

• 每一个元素 $g\in G$都能被生成子集中的元素 $s_i\in S$ 的幂组合得到
• 生成子集 S 是群G的生成集

定理：

对于两个群G和H，如果存在一个同构 $f:G\to H$，且存在一个生成子集S，使得这个生成子集是G的生成集，那么就可以将任意元素在G中映射到H中的某个元素。

第三同构定理

第三同构定理指出，如果两个群G和H之间存在一个同构，它们也是同构性的。也就是说，两个群G和H如果有一个同态，从G到H，同构性是无条件的，不需要任何限制。

定理：

对于两个群G和H，如果存在一个同态从G到H，那么就存在同构从G到H。