同态与同构之群同态

同态映射

同态映射是一种函数，它不仅保留结构的部分，而且也能够将一个集转化为另一个集。它可以将两个群之间的结构一一地传递下来。

在群理论中，同态映射是定义群同构性的关键概念。

核（ Kernel )

核是一个子集，它包含所有的元素，使得函数对这个子集的应用结果都是恒等函数。

公式：$ker(f)=\{x|f(x)=e\}$

其中 $e$ 是单位元。

###像（Image）

像是一个集，它是函数的映射范围。

公式：$im(f)=\{f(x)|x\in G\}$

同构之群同态

同构之群同态是两个群之间存在一种一一对应的结构变换，使得两个群是可以相等的。

对于任何一个群 $G$ 和 $H$，如果有一个群同构之群同态 $\varphi :G\to H$ 的映射，并且存在一个群同构之群同态 $\psi :H\to G$ 的映射，使得 $\psi (\varphi (x))=x$ 且 $\varphi (\psi (y))=y$，那么 $G$ 和 $H$ 就可以被认为是同构的。

公式：$$\phi: G \to H, \qquad \psi: H \to G | \phi(\psi(h)) = h, \qquad \psi(\phi(g)) = g, \qquad \forall g \in G, \forall h \in H$$