群表示论之表示的等价与不可约表示：定义与性质

群表示论的基本概念

群表示论是群 theory 的重要部分，它关注的是群的作用于某个集合上的表示，以及这种表示是否可约和如何进行。

群表示的定义

对于一个群 G 和一个集合 X，G 上的表示 $f : G \to Aut (X)$ 是一系列函数，第 i 个函数 $f_{i}$ 为 $f (i) (x) = f_{i} (x)$ ，其中 $i \in G$ 和 $x \in X$ 。

群表示的可约性

一个群表示 $f : G \to Aut (X)$ 称为不可约（incomposible），当且仅当存在无限数量的函数 $f_{i} \in f (G)$ ，使得 $f (x) f_{i} (x) = f (x) f_{j} (x)$ 和 $x, f_{i} (x), f_{j} (x) \neq x$ 都有解。

群表示论中的关键性质

群表示论中一些关键性质包括：

群表示的可约与不可约性

对于一个群 G 和一个集合 X，存在 $f : G \to Aut (X)$ 的以下性质是重要的：

$f$ 是 $G$ 上的表示
$f$ 是可约的当且仅当有无穷多个函数 $f_{i} \in f (G)$ ，使得
$f (x) f_{i} (x) = f (x) f_{j} (x) $ $ 和 $ x, f_{i} (x), f_{j} (x) \neq x $ 都有解。$ $f (x) f_{i} (x) = f (x) f_{j} (x) $ $ 和 $ x, f_{i} (x), f_{j} (x) \neq x $ 都有解。$

群表示论中，有些性质与群结构有关，如：

当且仅当存在无穷多个函数 $f_{i} \in f (G)$ ，使得
$f (x) f_{i} (x) = f (x) f_{j} (x) $ $ 和 $ x, f_{i} (x), f_{j} (x) \neq x $ 都有解。这样的群被称为可约。$ $f (x) f_{i} (x) = f (x) f_{j} (x) $ $ 和 $ x, f_{i} (x), f_{j} (x) \neq x $ 都有解。这样的群被称为不可约。$

群表示论在多个领域中都很重要，如：

代数：群表示论的理论可以用来研究代数结构。
数学：群表示论的理论可以用来研究数学结构。
计算机科学：群表示论的理论可以用来研究计算机科学中的一些问题。

群表示论之表示的等价与不可约表示：定义与性质 ​

群表示论的基本概念 ​

群表示的定义 ​

群表示的可约性 ​