有限群与无限群之无限群的基本性质

生成元和自由群

无限群是具有不止一个元素的群，它们可以是有限或无限。无限群的定义是：

• 无限群是群中的任意非空子集。

对于无限群，生成元和自由群有以下定义：

生成元

在无限群中，生成元是指无限群中任意两个元素的乘积为零的元素。可以使用以下公式表示：

$$\text{g\_1,g\_2 in G, g\_1g\_2 = e\_G, text{其中} e\_G in G是群的单位，且} g\_1neq 0,G是无限群。}$$

自由群

自由群是无限群中所有非生成元的元素之集合。

无限群的性质

无限群有以下性质：

• **生成集：**无限群中的每个元素都可以表示为有限子集的乘积。
• 自由群的性质：-free group是无限群中所有非生成元的集合，-free group的性质是每个元素都是单位，单位是唯一的。

无限群与有限群

无限群与有限群之间有以下关系：

• 有限群是无限群的一种特殊情况。
• 无限群可以包含有限子集。