有限群与无限群之无限循环群与自由阿贝尔群：定义与性质

有限群和无限群的基本概念

在组合数学中，一个群是由两个或以上元件形成的代数结构，其中满足闭合、组合对称性、逆元存在和乘法可分配四个条件。有限群是指具有 finitely MANY 元件的群，无限群则是无穷多元件的群。

无限循环群

一个无限循环群（cyclic group）是满足以下两个条件的群：

• 该群中存在单元元件，也就是说，对于所有群元素e，存在某个元件x，使得ex=e。
• 每个群元素的乘法结果都是群中的其他元件。

无限循环群可以表示为Z（整数集），其中每个元素都是该集合的数字，闭合条件由：

$$a\cdot b=c$$

当且仅当 a+b=c 的整数c存在时

对于两个或以上相同的元件x, x*x' = e。

自由阿贝尔群

一个自由阿贝尔群（free abelian group）是满足以下三个条件的群：

• 该群中存在单元元件，也就是说，对于所有群元素e，存在某个元件x，使得ex=e。
• 每个群元素的乘法结果都是群中的其他元件。
• 该群的所有非空子集中，不同元件的乘积为单元元件。

自由阿贝尔群可以表示为Z（整数集），其中每个元素都是该集合的数字。

无限循环群和自由阿贝尔群的性质

无限循环群是无限无关群的例子，其性质如下：

• 乘法可分配律: 对于任何两个无限循环群元件a 和 b，(ab) * a = a^2b
• 逆元存在：对每个无限循环群元素a，存在一个元素b，使得 ab = e，其中e是群的单元。
• 闭合律：对于任何两个无限循环群元件a 和 b，ab 是无限循环群中的一個元件。

自由阿贝尔群与无限循环群不同，其性质如下：

• 乘法可分配律: 对于任何两个自由阿贝尔群元素a 和 b，(ab) = (a)(b)
• 逆元存在：对每个自由阿贝尔群元素a，存在一个元素b，使得 ab = e，其中e是群的单元。
• 闭合律：对于任何两个自由阿贝尔群元素a 和 b，ab 是自由阿贝尔群中的一個元件。