有限群与无限群之有限群的分类：简单群、可解群

简单群

simple group

一个群的元素集由一个闭合的集合C组成，而每对元素的逆元在C上是可唯一确定的。在群的理论中，简单群是指不具有任何非trivial子群的群。

定义

G = \langle a, b \mid f(a,b) = e\rangle$$ 是一个有限simple group，如果存在正整数n和m，且对于所有a在G上满足$a^n=e$，对于所有b在G上满足$b^m=e$，且其中一个（或两个）不等于1，则G是简单群。 ## 可解群 可解群 可解群是一种具有特定性质的简单群，这些群中的每个元素都可以通过一系列运算得到另一个元素。这些群被称为“可解”，因为它们可以通过一种方式解释为有解的问题。 **定义** $$G = \langle a, b \mid f(a,b) = e\rangle$$ 是一个有限的可解群，如果存在正整数n和m，且对于所有a在G上满足$a^n=e$，对于所有b在G上满足$b^m=e$，且其中一个（或两个）不等于1，则G是可解群。 ### 可解群的性质 - 可解群中的每个元素都可以通过一系列运算得到另一个元素。 - 可解群具有特定的分组结构，使得不同元素之间的关系可以被有效地描述和分析。 - 可解群在多种数学领域中发现，包括代数、几何学和算术。