有限群与无限群之伯恩赛德引理与群作用的应用

1. 伯恩赛德引理的基本概念

伯恩赛德引理是伯恩赛德对群的研究，特别关注群的中心和相关性质。

2. 有限群和无限群的区别

有限群：群中元素数不为无穷大。

无限群：群中元素数为无穷大。

3. 伯恩赛德引理（Bernoulli's Inequality）

给定一个非负整数 $n$，且 $k>n$，则：

$$(k+1{)}^n\ge k^n$$

这个不等式是伯恩赛德引理的基本形式。

4. 伯恩赛德引理与中心

对于有限群 $G$，如果有一个元素 $a$，且 $g^{\phi (g)}=a^{-1}$，其中 $\phi$ 是 Euler totient 函数，则 $a\in Z(G)$。其中 $Z(G)$ 为 $G$ 的中子。

5. 伯恩赛德引理与无限群

对于无限群 $G$，如果有一个元素 $g$，且 $h^n=g^{-1}$，其中 $n$ 是整数，则存在一个 $a\in G$，满足：

$$a^{k+n}=a^k$$

6.群作用的应用

群作用是指在群中进行对称运算。群作用可以用来研究多项式的根、周期性和等价关系。

7.例子：$A_4$群的对称作用

$A_4$群是四元组交换群，其元素可以按顺序排列写成：

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

其中 $a,b,c,$ 和 $d$ 为 $\{1,2,3\}$ 的任意元素。对称作用是指在这个群中进行对称运算。

8. 伯恩赛德引理和群作用的应用

可以使用伯恩赛德引理来研究群作用中的周期性和等价关系。

结论

伯恩赛德引理与群作用之间存在着深刻的联系。通过了解这些概念，可以更好地研究多项式的根、周期性和等价关系。