有限群与无限群之有限群的基本性质

群和元素

群是数学上一个满足以下条件的集合：对称运算，Closure(或更准确地说是内部可积)；关联性；存在特定的身份元（通常记为1）使得对于任何群中一个元素a，其逆元a^{-1}是该群中的元素。

有限群是群的一种特殊类型，它的成员不超过一个固定数。无限群则是群的另一种类型，没有有限大小的成员。

群的阶

群的阶，即其成员数，表示为n，是群中成员数量的大小。在群理论中，群的阶是群中的重要性质之一，可以用以下公式计算：

$$|G|=n=\text{该群中元素数量}$$

其中$|G|$表示群的阶。

群的生成子

一个群可以由某些元素（称为生成子）产生，而所有群成员都可以通过这些生成子的运算得到生成。群的生成子是生成群的一种，表示为：

$$G=⟨a_1,a_2,...,a_k⟩$$

其中$a_1,a_2,...,a_k$是群中元素的集合。

群的子群

一个群可以包含其他群作为其子群。群的子群是满足以下条件的群：

• 子群是群的超集（或等价地说，是群的子集）
• 对于所有在子群中的元素x和y，其乘积xy也是在子群中

群的顺序

一个群可以包含其他群作为其顺序。群的顺序是满足以下条件的群：

• 순序是群的超集（或等价地说，是群的子集）
• 对于所有在顺序中的元素x和y，其逆元x^{-1}也是在顺序中

群的外积

一个群可以包含其他群作为其外积。群的外积是满足以下条件的群：

• 外积是群的超集（或等价地说，是群的子集）
• 对于所有在外积中的元素x和y，其乘积xy也是在外积中

群的对称运算

一个群可以包含其他群作为其对称运算。群的对称运算是满足以下条件的群：

• 对称运算是群的超集（或等价地说，是群的子集）
• 对于所有在对称运算中的元素x和y，其乘积xy也是在对称运算中

群的代数结构

一个群可以包含其他群作为其代数结构。群的代数结构是满足以下条件的群：

• 代数结构是群的超集（或等价地说，是群的子集）
• 对于所有在代数结构中的元素x和y，其乘积xy也是在代数结构中

群的群关系

一个群可以包含其他群作为其群关系。群的群关系是满足以下条件的群：

• 群关系是群的超集（或等价地说，是群的子集）
• 对于所有在群关系中的元素x和y，其乘积xy也是在群关系中

群的群表示

一个群可以包含其他群作为其群表示。群的群表示是满足以下条件的群：

• 群表示是群的超集（或等价地说，是群的子集）
• 对于所有在群表示中的元素x和y，其乘积xy也是在群表示中

群的群性质

一个群可以包含其他群作为其群性质。群的群性质是满足以下条件的群：

• 群性质是群的超集（或等价地说，是群的子集）
• 对于所有在群性质中的元素x和y，其乘积xy也是在群性质中