群的定义与基本性质之群的简单例子：整数加群、模n加群和对称群

整数加群

定义

一个群是具有以下性质的集合：

• 关系是可逆的（即对于所有a,b∈G，存在b^{-1}∈G且ab^{-1}=e，其中e是群中唯一的元素）
• 关系满足对称性（即对于所有a、b∈G，a\in ba）
• 关系满足关联性（即对于所有a、b、c∈G，(ab)c=a(bc)）

一个群可以表示为：

$$G=\{e,a_1,a_2,...,a_n\}$$

其中，$e$ 是群中唯一的元素。

性质

• 群内所有运算都是可逆的。
• 群中的每个元素都有一个逆元。
• 群中的每个元素都可以与其他元素进行乘法和加法。

模n加群

定义

模n加群是由正整数模n得出的集合。该群的运算是模n运算：

$$a\cdot b=ab(\mathrm{mod}n)$$

其中，$ab(\mathrm{mod}n)$ 表示两个数字 $a$ 和 $b$ 模 n 的余数。

性质

• 模n加群内所有元素都是非负整数。
• 模n加群内所有运算都是可逆的。
• 模n加群中的每个元素都有一个逆元。

对称群

定义

对称群是由对称矩阵得出的集合。对称矩阵是可以通过旋转或反射获得的矩阵，其特点是其行列式为 1 或 -1。

性质

• 对称群内所有元素都是对称矩阵。
• 对称群内所有运算都是可逆的。
• 对称群中的每个元素都有一个逆元。

$$\begin{array}{|c|}\hline {\mathbf{Z}}_2=\{\left(\begin{array}{cc}0& amp;1\\ 1& amp;0\end{array}\right),1\}\\ \hline\end{array}$$

结论

群是数学中的一个基本概念，描述了一个集合中元素之间的运算关系。该定义涵盖了整数加群、模n加群和对称群等不同的案例。这些群在多个领域具有重要性，包括组合学、代数结构理论和物理学。