群的定义与基本性质
群是一种代数结构，由一个集合G的非空元素组成，满足以下四个运算：结合、逆元、关联和闭合。这些运算之间的关系如下：
- 结合：两个元素a,b∈G的结合是b*a。
- 逆元：每个元素a∈G都有一个逆元a^(-1)在G中满足a*b=a^(-1)b。
- 关联：如果a、b和c都是G中的元素，并且a*b=c，那么b是a的右移位（R）或左移位（L）。
- 闭合：对于任何两个元素a,b∈G，存在一个逆元b^(-1)，满足a*b=b^(-1)a。
子群的定义与性质
子群是群的一种特殊类型，它是一个满足群运算的子集。子群有以下性质：
- 子群包含其自身：任何元素都在子群中。
- 子群闭合：对于任意两个子群中的元素，它们的结合也是子群中的一个元素。
- 子群关联：子群中的元素也满足关联。
子群的判别条件
子群的判别条件是判断一个元素是否在某个群中是子群的方法。以下是几种常见的判别条件：
1. 余数定理
根据余数定理，若有一个群G，其中对于所有g∈G和a∈G，有a^(-1)ga=g\Rightarrow a=1，则G是可索引的，即存在一种可以确定群中元素是否为子群的方法。
2. 闭合性判别条件
若有一个群G，其中对于所有g∈G和a,b∈G，(ab)^(−1)=b^(-1)a^(-1)，则G是可闭合的，即所有组成元素都满足关联。
3. 模数定理
如果群G中存在一个素数p，并且对于所有g\in G和a\in G，(ga)^p = a^pg，则G是可索引的。