群的定义与基本性质之群的定义

群的定义

一组集合中的元素，可以进行运算，从而得到一个新的集合。这种运算满足一定的性质，即封闭性、结合律、单位元和逆元。

封闭性

对于群G，如果a,b∈G，则a⋅b∈G，这意味着运算是closed在G上的。

$$G=\{g\in S\mid g^n=e\}$$

其中S是集合，e是单位元。

结合律

对于任何三个元素a,b,c∈G，运算满足：

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

单位元

存在一个特殊的元素e∈G，使得对于所有a∈G，a⋅e=ea=e。

逆元

对于每个元素a∈G，存在一个特殊的元素a^{-1}∈G，使得a⋅a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e。

群的定义公式

$$G=\{g\in S\mid g^n=e\}$$

其中S是集合，e是单位元。