数学

根系与分类之Killing形式与李代数的结构：嘉当判定准则(lie-algebra)

Killing形式是指一种满足特定条件的 Lie 代数。一个Lie代数L上的运算方式是满足：

[X, Y]_{L} = - Y (X) + X (Y), \forall X, Y \in L

这意味着该代数上满足特定的 commutator条件。

李代数是指满足以下性质的算术结构：

嘉当判定准则是指一个Lie代数L上的特定条件，这些条件决定了L的分类。

对于一个Lie代数L，若满足以下条件，则称L为简单；否则不简单。我们可以分别考虑几种情况：

如果 $L$ 是简单的，那么它只有一个单元（即 $0$ 和 $1$ ）和一个单位对（即 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$ ）。对于所有的 $X \in L$ ，我们有：

[X, X]_{L} = 2 (X) .

如果 $L$ 不是简单的，那么它一定包含一个非单元的元素。让我们称这个元素为 $x$ 。

假设存在一个非单位的简单子代数 $M$ 。那么， $M$ 必须是 $C$ 的一维空间，因为它不可能包含两个线性独立的向量以 $L$ 为例外。

如果 $M = R^{n} \cap L$ 是一个非单位的简单子代数，那么对于所有的 $X, Y \in M$ ，我们有：

[X, Y] = 0. $ $ 在 这 种 情 况 下 ， 我 们 可 以 定 义 一 个 标 量 函 数 $ f_{M} : M \times M \to C $ ， 满 足 以 下 条 件 ： $ $ f_{X} (X) = 0, f_{Y} (Y) = 0,

f_{X} (Y) = 0, f_{Y} (X) = 0,

对于所有的 $X, Y \in M$ 。我们还可以定义一个标量函数 $f_{L} : L \times L \to C$ ，满足以下条件：

f_{L} (a, b) = 0, 对于所有 a, b \in M,

f_{L} (c, d) = 0, 对于所有 c, d \notin M .

基于这些定义和性质，我们可以得出以下结论：

对于任何非简单的Lie代数 $L$ ，我们可以将其分为两个部分：一个是具有标量函数 $f_{M}$ 的子集，其包含所有具有这个特定标量函数的元素；另一个是具有标量函数 $f_{L}$ 的子集，其包含所有具有这个特定标量函数的元素。