李代数的定义与基本性质之李代数的商代数：构造与性质

什么是李代数

李代数是一种抽象代数结构，其特点是在闭合式的群上具有线性结构，满足一些特殊的性质。它被广泛应用于物理学、数学和计算机科学等领域。

李代数的定义

一个李代数的定义是：

$$L=\{X\in M(g)|[X,Y]\in L,\mathrm{\forall }Y\in L\}$$

其中，$M(g)$表示群 $g$ 的Lie超空间，$[X,Y]$ 表示两个元素 $X,Y\in L$ 之间的 Lie 闭方程。

基本性质

李代数具有以下基本性质：

• 交换律：对于所有 $X,Y,Z\in L$，有 $[X,[Y,Z]]=[Y,[Z,X]]$
• 对称律：对于所有 $X,Y\in L$，有 $[X,Y]=-[Y,X]$
• 三角律：对于所有 $X,Y,Z\in L$，有 $[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0$

李代数的商

李代数的商是指在一个群上构造的两个或多个非互质的李代数。给定两个非交的李代数 $L_1,L_2$，其商 $L$ 满足：

$$L=\{X\in L_1+L_2|[X,Y]\in L_1,\mathrm{\forall }Y\in L_2\}$$

例子

例如，在 Lie 超空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上，可以构造两个非交的李代数：

$$\text{L\_1 = left{begin{bmatrix} a \& b c \& d end{bmatrix}right|a,b,c,d in mathbb{R}, ad-bc=0right}}$$$$\text{L\_2 = left{begin{bmatrix} e \& f g \& h end{bmatrix}right|e,f,g,h in mathbb{R}, eh-fg=1right}}$$

其商为：

$$\text{L = L\_1 + L\_2 = left{begin{bmatrix} a \& b c \& d end{bmatrix}+begin{bmatrix} e \& f g \& h end{bmatrix}right|a,b,c,d,e,f,g,h in mathbb{R}, ad-bc=0,eh-fg=1right}}$$

性质

李代数的商具有以下性质：

• 交换律：对于所有 $X,Y,Z\in L$，有 $[X,[Y,Z]]=[Y,[Z,X]]$
• 对称律：对于所有 $X,Y\in L$，有 $[X,Y]=-[Y,X]$
• 三角律：对于所有 $X,Y,Z\in L$，有 $[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0$

这些性质与原来的李代数相同。

结论

李代数的商是构造在一个群上两个或多个非互质的李代数之间。它具有与原来的 Lee 代数相同的性质，包括交换律、对称律和三角律。这些性质对于研究 Lie 超空间中的线性结构和关系至关重要。