介绍

李代数是数学中的一个重要概念，广泛用于线性代数、群 theory 和物理学等领域。

基础定义

李代数是对向量空间的线性 Transformation 的集合。它的元素是线性 Transformations，且满足以下条件：

• 对应的乘法是对称的（即对于任何两张线性Transformation的对应元素u和v，其乘积uv等于v'u）。
• 对应的乘法是交换的（即对于任何两张线性Transformation的对应元素u和v，其乘积uv等于u'v）。

概括性公式

李代数的定义可以用以下公式概括：

$$\mathcal{L}(V)=\{T:V\to V|T\text{是线性 Transformation}\}$$

其中，$V$ 是向量空间，$\mathcal{L}(V)$ 是对 $V$ 的线性 Transformation集合。

特殊例子：一般线性代数

一般线性代数是指李代数的特化例子。在这个例子中，我们将 Lee 代数视为矩阵，且考虑两张矩阵相乘的定义。具体来说：

• 两个矩阵 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ 的乘积 $AB$ 为另一个矩阵，对应于线性 Transformation $T_A,T_B\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^n)$，分别为：

$$T_A(x)=Ax,T_B(y)=By$$

则 $AB$ 为另一个矩阵对应的线性 Transformation：

$$T_{AB}(x+y)=A(B(x+y))=ABx+ABy$$

• 两个矩阵 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ 的乘积 $AB$ 满足以下条件：

$$AB=BA$$

特殊例子：特殊线性代数（Lie-algebra）

特殊线性代数是指满足以下条件的李代数的集合：

• 对于任何两个元素 $u,v\in L$，满足 $[u,v]=-[v,u]$。

这里，$[,]$ 表示两个线性 Transformation 的 commutator。特别地，这意味着所有元素 $u,v\in L$ 都满足以下条件：

$$[u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]]=0$$

这就是特殊线性代数的基本定义。

结论

李代数是数学中的一个重要概念，广泛用于线性代数、群 theory 和物理学等领域。了解李代数的基础定义和特化例子有助于更好地理解这些领域的基本概念。