李代数与李群之间的关系

李代数是用于描述Lie群结构的数学结构，它是几何学和代数的重要工具。李群是对一个 Lie group 的群操作，我们在这里讨论的是 Lee 代数和 Lee群之间的关系。

指数映射

指数映射是一种关键概念，用于将 Lie group 的元素映射到 Lie algebras 中。这是通过以下公式实现的：

$$\exp :\mathfrak{g}\to G,X\mapsto e^X$$

其中 $\mathfrak{g}$ 是 Lie group 的 Lie 代数，$G$ 是 Lie group。

Baker-Campbell-Hausdorff公式

Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) 公式是一种重要的公式，用于计算两个 Lie group 元素之间的乘积。公式如下：

$$e^X{e}^Y=e^{\frac{1}{2}[X,Y]}{e}^{{\text{Ad}}_g(X-Y)}$$

其中 $[X,Y]$ 是 Lie 代数中 $X$ 和 $Y$ 的 commutator，${\text{Ad}}_g$ 是 Lie group 上的内积。

李代数与李群之间的关系

李代数是 Lie group 的微分集，是其结构和性质的基础。李群可以被视为一个 Lie group，它的 Lie 代数就是该群的微分集。

$\exp$映射将 Lie group 元素映射到 Lie 代数，BCH 公式则提供了两个 Lie group 元素之间乘积的表达方式。

这两种映射和公式对于理解 Lie group 和 Lie 代数之间的关系至关重要。