根系与分类之Weyl群的定义和性质

什么是根系？

根系是集合中的一个特定子集，它的元素满足某些关系，对于Lie algebroid来说，这些关系是由Lie Bracket（ Lie 闭合）确定的。对于根系来说，一个元素a ∈ V，称为一个根，如果它满足方程：

$$[a,b]=\alpha b\text{for some}\alpha \in \mathbb{R}.$$

Weyl群的定义

Weyl群是对称在根系上的群。对于给定的Lie algebroid V，设W = {w ∈ V | [w, x] = 0 for all x ∈ V}。那么Weyl群就是这个集合中的元素的乘积。

Weyl群的性质

可以被归类为有限群

对于任何Lie algebroid来说，可以找到一个根系，这个根系可以构造一个Weyl群，且该群是可被归类为有限群的。

代表根系的元素

Weyl群中的每一个元素都可以代表一个根，从而给出对应的根系统。这个关系由以下公式所示：

$$\text{reps}(\mathcal{G})=\text{span}\{{\alpha }_i\}$$

其中，$reps(\mathcal{G})$是Weyl群$\mathcal{G}$代表根系的元素集，且${\alpha }_i$表示根。

根系的对称群

对于某个根系S，它可以构造一个 Lie algebroid V，其中：

$$V=\underset{i\in S}{⨁}\mathbb{R}{\alpha }_i.$$

这个Lie algebroid的Weyl群是对应于根系S的对称群。

例子

对于一个Lie algebroid $\mathfrak{g}$，假设它是$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$，则其根系为：

$$\mathrm{\Delta }=\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}.$$

因此，这个 Lie algebroid的Weyl群是对应于 $\mathrm{\Delta }$ 的对称群，即 $SL(2,\mathbb{C})$。

总结

在这个问题中，我们学习了根系与分类之Weyl群的定义和性质。我们了解了根系的概念，以及Weyl群如何代表这些根系，并且讨论了对应Lie algebroid中的 Lie Bracket关系。