半单李代数的分类（Lie-Algebra）

基本概念和定义

半单李代数是一种特殊类型的李代数，其对称矩阵具有非全等性特征。在这里，我们将讨论半单李代数的构造和分类，特别是对于半单群（Special Linear Group）和其相关的Lie代数。

半单群和半单群的 Lie群

半单群是一种特殊类型的线性群，其元素是2x2正实数矩阵，并满足以下条件：

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，其中 $a$, $b$, $c$, $d\in \mathbb{R}$，且满足方程：$ad-bc\ne 0$

半单群的 Lie群是 $\text{SL}(2,\mathbb{R})$，即全等正实数矩阵。

半单李代数的构造

半单李代数由半单群的Lie群结构给出。我们可以定义一个从 $n\times n$ 正实数矩阵到 $\text{sl}(n,\mathbb{R})$ 的双射：

$\text{begin{aligned} phi: text{SL}(2,mathbb{R}) \&to text{sl}(2,mathbb{R}) A = begin{bmatrix} a \& b c \& d end{bmatrix} \&mapsto X\_{phi(A)} = begin{bmatrix} a \& -c b \& d end{bmatrix} 结束{对齐}}$

$\varphi$ 是一个双射，因为 $\varphi$ 的逆在 $n=2$ 时给出。

半单李代数的分类

半单李代数是 $A_{n-1}$ 类型。我们可以定义一个从 $\text{sl}(n,\mathbb{R})$ 到 $A_{n-1}$ 的射:

$\text{begin{aligned} psi: text{sl}(n,mathbb{R}) \&to A\_{n-1} X = (x\_{ij}) \&mapsto x\_{ii} + sum\_{i < j} x\_{ij}mathbf{e}\_{ij} 结束{对齐}}$

$\psi$ 是一个射，因为 $x_{ij}=0$，对于所有 $i>j$

半单李代数的 Lie结构

我们可以计算 $\text{sl}(n,\mathbb{R})$ 的Lie结构在半单李代数上的表现。我们有：

$$[X,Y]={[X,Y]}_{\text{sl}(n,\mathbb{R})}=X+Y$$

因此，半单李代数的 Lie_structure 在 $A_{n-1}$ 上是次元数量相同的半单群结构。

半单李代数的分类

我们可以将半单李代数分为两大类：

正半单李代数

对于正半单李代数，我们有：

$$[X,Y]=[X,Y{]}_{A_{n-1}}=X-Y$$

这是一个具有半双群结构的半单李代数。

负半单李代数

对于负半单李代数，我们有：

$$[X,Y]={[X,Y]}_{A_{n-1}}=-X+Y$$

这是一个具有半双群结构的半单李代数。

结论

我们在本文中介绍了半单李代数的构造和分类，特别是对于半单群和其相关的Lie代数。我们讨论了半单李代数的 Lie 结构及其分类，并给出了它们在 $A_{n-1}$ 上的表示。

应用

半单李代数在物理学中起着重要作用，特别是在弦理论中，它们与超对称群有关。在数学上，它们与 Representation theory 和 Lie group theory 相关。