李代数的表示之不可约表示与完全可约表示

定义和性质

李代数是一种非常规矩阵，它具有许多独特的性质。其中一个重要的性质是它的表达式可以分为不可约表示和完全可约表示两类。

不可约表示表示是指不能进行分解为多项式乘积的表达式。例如：

[\begin{array}{ccc} 0 & a m p; 1 \\ - 1 & a m p; 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{ccc} a_{11} & a m p; a_{12} \\ a_{21} & a m p; a_{22} \end{array}] = [\begin{array}{cc} - a_{21} & a m p; a_{11} + a_{22} \\ - a_{12} & a m p; - a_{22} \end{array}]

这个表达式是不可约表示的，因为它不能被分解为多项式乘积。

完全可约表示表示则是指可以通过常规运算（如加法和乘法）分解为多项式乘积的表达式。例如：

[\begin{array}{ccc} a & a m p; b \\ c & a m p; d \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & a m p; 0 \\ 0 & a m p; 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{cc} a & a m p; b \\ c & a m p; d \end{array}]

这个表达式是完全可约表示的，因为它可以通过常规运算分解为多项式乘积。

李代数的不可约表示和完全可约表示性质有许多重要的应用：

总之，李代数的不可约表示和完全可约表示性质是其独特的特征之一，它们为我们提供了新的角度和方法来研究数学结构。