李代数的表示之李代数表示的定义

李代数的表示是指将一个群或空间映射到另一个群或空间中的一个代表性结构。这里，我们关注的是李代数表示，这是一种将李群或Lie群映射到另一李群或Lie群中的表示。

线性表示

线性表示是最基本的形式，指在一个向量空间中定义一个线性变换，从而得到一个代表性的结构。这种表示可以用于群或空间的单位元素，它们将被映射到另一个结构中。

$$\begin{array}{rl}\rho :G\to {\mathfrak{g}}_e& amp;={\varphi }_0\end{array}$$

其中，${\mathfrak{g}}_e$ 是目标结构的李代数， ${\varphi }_0$ 是一个线性变换。这种线性表示可以帮助我们将群或空间的单位元素映射到另一个结构中。

矩阵表示（Lie-algebra）

矩阵表示是线性表示的一种特殊形式，它使用矩阵来代表线性变换。这个表示可以用于群或空间中的所有元素，而不是只有单位元素。

$$\begin{array}{rl}\rho :G\to {\mathfrak{g}}_e& amp;=\left(\sum _{i=1}^n{\varphi }_i\right)\end{array}$$

其中，${\mathfrak{g}}_e$ 是目标结构的李代数， ${\varphi }_i$ 是一个线性变换。这种矩阵表示可以帮助我们将群或空间中的所有元素映射到另一个结构中。

结论

李代数表示是研究群或空间映射到另一结构中的重要概念。两种主要形式的线性表示和矩阵表示有助于我们理解这些结构之间的关系，并提供了对这些结构的详细分析。