李代数

李代数简介

1. 定义

李代数（Lie algebra）是一个定义在域 ( F ) 上的向量空间 ( \mathfrak{g} )，配备了一个名为李括号的二元运算 ( [\cdot, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} )，满足以下公理：

• 双线性性：对于任意 ( x, y, z \in \mathfrak{g} ) 和标量 ( a, b \in F )，有 [ [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z], \quad [z, ax + by] = a[z, x] + b[z, y] ]
• 反对称性：对于任意 ( x \in \mathfrak{g} )，有 [ [x, x] = 0 ] 由此可以推出 ( [x, y] = -[y, x] )。
• 雅可比恒等式：对于任意 ( x, y, z \in \mathfrak{g} )，有 [ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ]

李代数通常是一个非结合代数，但每个结合代数都可以通过定义交换子 ( [x, y] = xy - yx ) 生成一个李代数。

2. 与李群的关系

李代数与李群密切相关。李群是一个既是群又是光滑流形的数学对象，其群运算（乘法和求逆）是光滑映射。每个李群在单位元处的切空间可以自然地定义为一个李代数，其中李括号衡量了李群不满足交换律的程度。

反过来，任何定义在实数或复数上的有限维李代数，都有一个对应的连通李群，唯一性仅限于覆盖空间（李的第三定理）。这种对应关系使得我们可以通过李代数这一线性代数的简化对象来研究李群的结构和分类。

3. 基本性质

• 子代数与理想：李代数的子代数是其线性子空间，对李括号封闭；理想是更强的子代数，满足 ( [\mathfrak{g}, I] \subset I )，其中 ( I ) 是理想。
• 交换子、幂零和可解：李代数可以分为交换、幂零和可解等类型，这些性质与群的交换性、幂零性和可解性类似。
• 简单和半简单：简单李代数是没有非平凡理想的李代数，而半简单李代数是简单李代数的直积。

4. 表示理论

李代数的表示是将李代数的元素映射到线性空间的线性变换，使得李括号对应于线性变换的交换子。表示理论是李代数研究中的一个重要内容，广泛应用于物理学和数学的其他领域。

5. 应用

• 物理学：李代数及其表示在量子力学、粒子物理学和规范场论中被广泛使用，用于描述物理系统的对称性。
• 计算机视觉和机器人学：李代数用于描述三维空间中的旋转和运动。
• 动力学系统：李群和李代数理论被用于动力学系统的建模与计算，避免了传统方法在奇点附近的模糊性。

李代数是现代数学和物理学中不可或缺的工具，其理论和应用在多个领域都发挥着重要作用。