李代数的定义与基本性质之李代数的子代数与理想：定义与性质(lie-algebra)

1. 李代数的定义

李代数是数学中的一个重要概念，描述了线性映射群及其对称运算。一个李代数是满足以下条件的一个算术结构：

• 闭合:对于任何两个元素 $A$ 和 $B$，存在一个元素 $C$ 使得 $[A,B]=C$。
• ** commutator**：对于任何两个元素 $A$ 和 $B$，$[A,B]$ 为该结构中的加法运算的结果。
• Scalar 多项式：对于任何实数 $a$，存在一个线性映射 $f_a$，使得 $[f_a(x),y]=a{f}_y(x)$。

李代数的基础是群论，它描述了线性映射的行为，以及它们之间的关系。

2. 李代数的子代数

在李代数中，任何满足特定条件的子结构都是可观察的。例如，我们可以考虑以下几种情况：

• ** commutator子代数**:该子代数由两个元素 $A$ 和 $B$ 的 commutator构成：$[A,B]=A\circ B-B\circ A$
• 内积：给定一个实数 $\lambda$，它满足以下条件：

$$\left[\begin{array}{rl}& =[x,z]+[y,z],\\ [\alpha x,y]& =\alpha [x,y],\end{array}\right].$$

3. 李代数的理想

李代数的理想是定义为满足特定条件的子结构。例如：

• 二分类子代数：一个具有以下性质的子代数是二分类（即可分为两部分）的：

$$\left[\begin{array}{r}=0\\ \text{for all }x,y\in {\mathbb{R}}^n，\end{array}\right].$$

• ** commutator子理想**：给定一个群 $G$，它是李代数的理想：

$$\left[\begin{array}{rl}& amp;=0\\ \text{for all }A,B\in G。\end{array}\right].$$

4. 李代数的性质

李代数中存在多种重要性质，例如：

• ** commutator恒等式**：对于任何两个元素 $A$ 和 $B$，$[A,B]=-[B,A]$。
• ** commutator恒等式的推导**：对于任何三个元素 $A$、$B$ 和 $C$，$[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0$

这些性质表明了李代数及其子结构之间的复杂关系。

5. 应用和extensions

李代数及其理想在数学领域中非常重要，它们可以用于描述线性映射群及其对称运算。在某些情况下，还需要将其扩展到更广泛的结构，如代数或拓扑空间。